Retour
Variables et fonctions logiques.


1) Les variables de la logique binaire.

Les variables logiques ne peuvent prendre que deux valeurs : 0 ou 1. Elles sont associées à des 'systèmes' à 2 états, et valent 1 quand le 'système' associé est dans un état caractéristique, et 0 quand il n'y est pas.

Des exemples :
2) Les fonctions de la logique binaire.

La logique binaire, telle que l'avait imaginée Boole, comporte trois fonctions élémentaires de base : ET, OU et NON.

ET et OU ont deux variables logiques comme argument, alors que NON a une seule variable logique comme argument. 3) Conventions d'écriture.

Afin de rendre les expressions logiques plus claires, et de réserver les lettres aux seules variables logiques, il est convenu de : 4) Utilisation des parenthèses.

Les parenthèses sont utilisées pour encapsuler : afin de définir sans ambiguïté l'enchaînement des opérations logiques définissant une expression logique.

Exemple d'expression :

((a+b).c)+(d.((e+f).(a+g)))

Chaque expression comprise entre ( et ) peut être considérée, avec ( et ) comme une variable logique à part entière. Pour l'exemple ci dessus, on a donc en 4 passages, en marquant en bleu l'évolution de l'interprétation de l'équation :

((a+b).c)+(d.((e+f).(a+g)))
((a+b).c)+(d.((e+f). (a+g)))
((a+b).c)+(d. ((e+f).(a+g)))
((a+b).c)+ (d.((e+f).(a+g)))
((a+b).c)+(d.((e+f).(a+g)))

5) Les tables de vérité.

Ces tables représentent la valeur (0 ou 1) d'une fonction de n variables en fonctions de toutes les combinaisons d'états logiques de ces n variables. Une table de vérité comporte 2 lignes de données pour 1 variable, 4 lignes pour 2 variables, 8 lignes pour 3 variables, etc.

Table de vérité de la fonction NON :
a a
0 1
1 0
Tables de vérité de la fonction ET
a b a.b
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Tables de vérité de la fonction OU
a b a+b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Tables de vérité de l'inverse des fonctions ET et OU
a b a.b a+b
0 0 1 1
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 0
Les tables de vérités peuvent être utilisées pour n'importe quelle fonction, mais on déduit de ci-dessus que : Ceci porte le nom de loi de Morgan.

6) Simplification de l'écriture.

L'utilisation des tables de vérités montre que a.b est équivalent à b.a, et que a.(b.c) est équivalent à (a.b).c. Le signe = est utilisé pour représenter cette équivalence :
a.b = b.a
a.(b.c) = (a.b).c
De même, on a
a+b = b+a
a+(b+c) = (a+b)+c
Ces résultats autorisent les simplifications suivantes :
a.(b.c) = a.b.c
a+(b+c) = a+b+c

7) Usage des parenthèses.

Par convention, et parce que l'esprit humain perçoit aisément ce qui est écrit en utilisant cette syntaxe, les équations booléennes sont écrites pratiquement toujours sur la base de OU de ET.
Autrement dit :
(a.b.c)+(d.e)+(f.g.h.i) s'écrit a.b.c+d.e+f.g.h.i

Par contre la distributivité du ET sur le OU donne :
a.(b+c) = a.b+a.c
De même :
(a+b).(c+d) = a.c+a.d+b.c+b.c

L'exemple du paragraphe 4 donne :
((a+b).c)+(d.((e+f).(a+g))) = (a+b).c+d.(e+f).(a+g)
et après développement :
(a+b).c+d.(e+f).(a+g) = a.c+b.c+d.e.a+d.e.g+d.f.a+d.f.g

8) Tableaux de Karnaugh.

Les tableaux de Karnaugh sont des tables de vérité améliorées : Exemple pour cinq variables logiques a,b,c,d,e, 4 lignes et 8 colonnes, tableau non rempli :
0 0 0 0 1 1 1 1 c
0 0 1 1 1 1 0 0 b
0 1 1 0 0 1 1 0 a
0 0 . . . . . . . .
0 1 . . . . . . . .
1 1 . . . . . . . .
1 0 . . . . . . . .
e d
Cases adjacentes, regroupement de cases :
0 0 0 0 1 1 1 1 c
0 0 1 1 1 1 0 0 b
0 1 1 0 0 1 1 0 a
0 0 B2 . . . . . . . d
0 1 . . . . A2 . . . e
1 1 B4 . . A1 A A3 . A5 d
1 0 B B3 . B5 A4 . . B1
e d a| b| a| c| a| b| a|
Exemple d'écriture d'une équation : a.b.d+ a.b.d.e+ a.b

0 0 0 0 1 1 1 1 c
0 0 1 1 1 1 0 0 b
0 1 1 0 0 1 1 0 a
0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
0 1 1 0 1 0 0 1 0 1
1 1 1 0 1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 0 1 1 0 0 1
e d
On voit une simplification possible, l'équation devient : a.b.d+ a.d.e+ a.b

Fin du rappel sur les bases des variables et fonctions logiques

Retour