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Algèbre de Boole et Logique


1)Dénombrement des fonctions logiques

Imaginons une 'boîte noire' dans la quelle rentrent n valeurs de variables logiques et de la quelle sort la valeur de la fonction logique contenue dans la 'boîte noire'.

Connaissant le nombre n de variables en entrées, combien peut-il y avoir de 'boîtes noires' différentes? Nous savons que le nombre de cases du tableau de Karnaugh est '2 puissance n', et que chaque case peut avoir deux valeurs: 0 ou 1, donc
Ceci montre l'évolution avec le nombre de variables de la complexité et des possibilités des fonctions logiques, et nous ne parlons ici que de logique combinatoire.

2)Fonctions logiques à deux variables

a 0 0 1 1
b 0 1 0 1 équation nom symbole
0 0 0 0 =0 ZERO 0
0 0 0 1 =a.b ET a.b
0 0 1 0 =a./b N'IMPLIQUE PAS ab
0 0 1 1 =a
0 1 0 0 =/a.b ba
0 1 0 1 =b
0 1 1 0 =/a.b+a./b OU EXCLUSIF ab
0 1 1 1 =a+b OU a+b
1 0 0 0 =/a./b NOR ab
1 0 0 1 =/a./b+a.b EQUIVAUT A a<=>b
1 0 1 0 =/b
1 0 1 1 =a+/b b=>a
1 1 0 0 =/a
1 1 0 1 =/a+b IMPLIQUE a=>b
1 1 1 0 =/a+/b NAND a|b
1 1 1 1 =1 UN 1
Table des fonctions f(a,b)
3)Algèbre de Boole et Logique

L'algèbre binaire à été créé par Boole pour résoudre des problèmes de logique. Depuis, la logique a fort évolué, et l'algèbre de Boole est utilisé maintenant de façon presque exclusive pour résoudre des problèmes à dominante technique. Pourtant, c'est toujours un outil dont l'efficacité peut dérouter, ou même laisser perplexe.

Un exemple simple :
Supposons que l'on veuille connaître la relation définissant que quand la fonction b vaut 1, alors la fonction a vaut 1, mais que la réciproque n'est pas toujours vraie.
On a donc que : a.b=b, soit (a.b)<=>b.
La relation liant a et b est donnée par :
(a.b)<=>b= a+/b OK
On reconnaît là b=>a
Et on peut vérifier que :
((a.b)<=>b)<=>(b=>a)= 1 OK
De plus, si l'intersection de b et de a vaut b, c'est aussi que l'union de a et de b vaut a, et on a de même :
(a+b)<=>a= a+/b OK
Et donc :
((a.b)<=>b)<=>((a+b)<=>a)= 1 OK
Nous avons obtenu là ce qui appelé en logique une tautologie.

4)Tautologies
Une tautologie est utilisée classiquement en calcul logique formel. Il est démontré que toute tautologie est pour un langage du premier ordre une formule universellement valide. Cette propriété est utilisée dans les exemples du site.

5)Relations basiques utilisée dans les exemples du site

Les tautologies suivantes sont à la base de la méthode de calcul utilisée dans les exemples sur les graphes et les jeux : On peut lire simplement : ce qui est la base de l'algèbre de Boole.

Mais on peut aussi lire aussi : Comment interpréter un résultat? C'est trés simple!
Toute équation Booléenne peut être écrite sous forme normale disjonctive. Exemple :

f(a,b,c,d,e)=a.b.d+/a./d.e+/a./b

Si f(a,b,c,d,e)=1 est solution, alors on a un triplet de solutions :
Et la variable c? Elle n'intervient pas dans l'équation f, donc elle n'intervient pas dans les solutions. Sa valeur est indéterminée. On peut attribuer à c la valeur 0 ou 1, comme cela arrange. Pratiquement, on écrit cela par c=Ø. De même pour les variables n'apparaissant pas dans une solution.

Que dire de plus, si ce n'est que cela marche,

alors, une pensée pour George Boole, pour Charles Peirce, et pour tous les logiciens qui ont œuvré pour le développement de la logique.

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